IIDXとEZ2ONのスコア率を相互換算する

IIDXとEZ2ONは判定幅もスコア計算も異なるため、スコア率をそのまま比較することは難しいです。 そこで、入力タイミングのズレが同じ分布に従うと仮定し、そのときに両ゲームで期待されるスコア率を計算して相互に換算します。

なお、計算や数式の整理にはChatGPTを利用しています。 自分は統計に詳しいわけではないため、考え方や計算に誤りがあった場合はご容赦ください。

前提

入力タイミングのズレを $X$ とし、平均0msの正規分布に従うと仮定します。

ノート数は十分に多いものとし、スコア率は期待値で計算します。

これは実力そのものの換算ではなく、入力タイミングのズレだけを同じ標準偏差でモデル化した場合のスコア期待値の換算です。 EARLY/LATEの偏り、曲中でのブレ、認識難による外れ値などは考慮しません。

判定幅は以下を参照しました。

• IIDX: Gauge Calculation and Timing Windows | beatmania IIDX guide
• EZ2ON: Sudden Death(EZ2ON) - NamuWiki

IIDXの判定と配点

EZ2ONの判定と配点

EZ2ONの計算では、各判定の実際の点数ではなく、KOOLを1としたときのスコア率への寄与として扱います。 つまり、KOOLを100%、COOLを70%、GOODを20%として計算します。

標準正規分布による計算

標準正規分布の累積分布関数を $\Phi$ とします。 $\Phi(a)$ は、標準正規分布に従う値が $a$ 以下になる確率を表します。

入力タイミングのズレ $X$ を標準偏差 $\sigma$ で割って標準化したものを $Z$ とします。

このとき、$Z$ は平均0、分散1の標準正規分布に従います。

このとき、

です。 したがって、$X$ が $\lvert X \rvert \le a$ に収まる確率は、$Z$ が $\lvert Z \rvert \le a/\sigma$ に収まる確率として計算できます。

IIDX側の確率

PGREAT率

GREAT率

したがって、

EZ2ON側の確率

KOOL率

COOL率

GOOD率

したがって、

換算方法

片方のゲームのスコア率を指定し、そのスコア率を満たす $\sigma$ を数値的に求めます。 求めた $\sigma$ をもう片方の式に代入して換算します。

たとえば、IIDXのランクAAAの場合、

です。

を満たす $\sigma$ を、以下のPythonコードを使って求めます。

import math


def Phi(x):
    return 0.5 * (1 + math.erf(x / math.sqrt(2)))


def p(a, sigma):
    return 2 * Phi(a / sigma) - 1


def iidx(sigma):
    return p(16.67, sigma) + 0.5 * (p(33.33, sigma) - p(16.67, sigma))


def ez2on(sigma):
    return (
        p(22, sigma)
        + 0.7 * (p(55, sigma) - p(22, sigma))
        + 0.2 * (p(110, sigma) - p(55, sigma))
    )


def inv(fn, target):
    lo, hi = 1e-9, 1000.0

    for _ in range(200):
        mid = (lo + hi) / 2

        if fn(mid) > target:
            lo = mid
        else:
            hi = mid

    return (lo + hi) / 2


sigma = inv(iidx, 8 / 9)
score = ez2on(sigma)

print(sigma)  # 13.298675800799273
print(score)  # 0.9705623411040285

この結果、

となり、

となります。

換算結果

IIDXからEZ2ON

EZ2ONからIIDX

実際には、EZ2ONの表示スコアには判定によるスコアに加えてコンボボーナスが含まれます。 コンボボーナスはコンボ数がそのまま点数に加算されるため、この計算では表示スコアからコンボボーナスを引いた値を判定由来のスコアとして扱います。 その判定由来のスコアを1100000点満点に対するスコア率に直して換算します。

以下では、500、1000、1500、2000コンボ達成時の表示スコアを、コンボボーナス加算前のスコア率に直して計算します。

500コンボ達成時

1000コンボ達成時

1500コンボ達成時

2000コンボ達成時

統合表